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Programme de colles K25

Intégration, calcul de primitives. Pour les sommes de Riemann, uniquement des exercices simples.

1. Définition de l'intégrale d'une fonction continue par morceaux.

2. Théorème de l'intégrale nulle: si $f$ est positive et continue sur $[a,b]$, alors $f$ est nulle si, et seulement si, son intégrale sur $[a,b]$ est nulle.

3. Sommes de Riemann: définition et convergence dans le cas d'une fonction lipschitzienne.

4. Théorème fondamental de l'intégration.

5. Théorème de changement de variable.

DM19 pour vendredi 20 avril

Irrationnalité de $\pi$: sujet.

Semaine 26

Intégration, calculs de primitives.Chapitre 17: séries.

Programme de colles K24

Espaces vectoriels: tout le chapitre.
Intégration: définition de l'intégrale d'une fonction continue par morceaux, sommes de Riemann.
Les exercices d'intégration porteront sur les calculs de primitives simples (révision).

Questions de cours:

1. Théorème du rang.

2. Définition de la matrice d'une application linéaire dans des bases choisies, définition de la matrice de passage d'une base à une autre, formule de changement de base dans le cas d'un endomorphisme: $ A'= P^{-1} A P$.

3. Définition du déterminant dans une base, l'espace des formes $n$-linéaires alternées de $E$ de dimension $n$ est une droite (démonstrations en dimensions $2$ et $3$).

4. Définition de l'intégrale d'une fonction continue par morceaux.

5. Théorème de l'intégrale nulle: si $f$ est positive et continue sur $[a,b]$, alors $f$ est nulle si, et seulement si, son intégrale sur $[a,b]$ est nulle.

6. Sommes de Riemann: définition et convergence dans le cas d'une f…

Semaine 25

Intégration: définition de l'intégrale de Riemann d'une fonction continue par morceaux.

L'exercice posé à Cédric Villani

L'énoncé est ici.
Voici une résolution en python3.

Programme de colles K23

Espaces vectoriels: tout le chapitre (y compris les déterminants).

Questions de cours:

1 Formule de Grassmann.

2 Si $f$ est linéaire et bijective, alors $f^{-1} $ est linéaire.

3. Si $p$ est un projecteur de $E$,  $E = Ker p \oplus  Im p$

4. Théorème du rang.

5. Définition de la matrice d'une application linéaire dans des bases choisies, définition de la matrice de passage d'une base à une autre, formule de changement de base dans le cas d'un endomorphisme: $ A'= P^{-1} A P$.

6. Définition du déterminant dans une base, l'espace des formes $n$-linéaires alternées de $E$ de dimension $n$ est une droite (démonstrations en dimensions $2$ et $3$).